Mathe Formelsammlung Inhaltsverzeichnis

1 GONIOMETRIE 7
1.1 SIN(a+b) 7
1.2 SIN(a) 7
1.3 + -> * 7
1.4 * -> + 7
1.5 a+b << 1° 7
1.6 HILFSWINKEL 7


2 MENGEN 8


3 BINÄRE FUNKTIONEN 8


4 BETRÄGE 8


5 LOGARITHMUS 9


6 THERMUMFORMUNG 9


7 EULERSCHE SYMBOL 9


8 FUNKTIONEN 10
8.1 LINEARE GLEICHUNG 10
8.2 KEGELSCHNITTE 10
8.2.1 Parabel 10
8.2.2 Allgemeine Parabelgleichung 10
8.2.3 Quadratische Gleichung 11


9 VEKTOREN 12


10 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 12
10.1 2 GLEICHUNGEN MIT 2 UNBEKANNTEN 12
10.2 3 GLEICHUNGEN MIT 3 UNBEKANNTEN 12


11 KOMBINATORIK 13
11.1 PERMUTATIONEN MIT NUR UNTERSCHIEDLICHEN ELEMENTEN 13
11.2 PERMUTATIONEN MIT K1,K2, ... KM IDENTISCHEN ELEMENTEN 13
11.3 VARIATIONEN OHNE WIEDERHOLUNG, REIHENFOLGE WESENTLICH, ANORDNUNG 13
11.4 VARIATIONEN MIT WIEDERHOLUNG, REIHENFOLGE WESENTLICH, ANORDNUNG 13
11.5 KOMBINATIONEN OHNE WIEDERHOLUNG, REIGENFOLGE UNWESENTLICH, AUSWAHL 13
11.6 KOMBINATIONEN MIT WIEDERHOLUNG, REIGENFOLGE UNWESENTLICH, AUSWAHL 13


12 FOLGEN 14
12.1 ARITHMETISCHE FOLGEN 14
12.2 GEOMETRISCHE FOLGEN 14


13 DIFFERENZIEREN 15
13.1 ABLEITUNGEN EINIGER FUNKTIONEN 15
13.1.1 Ableitungen einiger elementarer Funktionen 15
13.1.2 Ableitungen der zyklometrischen Funktionen 15
13.1.3 Ableitungen der Areafunktionen 15
13.2 DIFFERENTIATIONSREGELN 15


14 INTEGRATION 16
14.1 TABELLE DER GRUNDINTEGRALE 16
14.2 PARTIELLE INTEGRATION 16
14.3 INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION 16
14.4 SEKTORENFORMELN 17
14.4.1 Leibnizische Sektorenformel 17
14.5 LINIEN- UND KURVENINTEGRALE 17
14.5.1 Tangentenvektor einer Kurve 17
14.5.2 Kurvenintegral eines Vektorfeldes 17
14.6 BOGENLÄNGE 17
14.6.1 Kartesisch 17
14.6.2 Parameterdarstellung 17
14.6.3 Polarkoordinaten 17


15 KOMPLEXE ZAHLEN C 18
15.1 SCHREIBWEISEN 18
15.1.1 Normalform 18
15.1.2 Polarform 18
15.1.3 Exponentialform 18
15.1.4 Umrechnungen 18
15.2 SYMBOLISCHE METHODE IN DER ET 18
15.2.1 Transformation 18
15.2.1.1 Komplexe Amplituden 18
15.2.2 Komplexe Widerstände 18
15.2.3 Ohmsches Gesetz 18
15.2.3.1 Für Amplituden 18
15.3 RECHENREGELN 19
15.3.1 Rechnen mit Beträgen 19
15.3.2 Konjugiert-Komplexe Zahlen 19
15.3.3 Die Inverse von z 19
15.3.4 Potenzieren 19
15.3.5 Multiplikation und Division 19
15.3.5.1 Multiplikation und Division mit j 19
15.3.6 Wurzeln 19
15.3.6.1 Einheitswurzeln 19
15.3.7 Exponentialfunktion 20
15.3.7.1 Potenzgesetze 20
15.3.7.2 Spezialfälle 20
15.3.8 Logarithmen 20
15.3.8.1 Logarithmen negativer Zahlen 20


16 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 21
16.1 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 21
16.1.1 Formen 21
16.1.1.1 implizite Form 21
16.1.1.2 explizite Form 21
16.1.2 Lösungsverfahren für die explizite Form 21
16.1.2.1 Isoklinenverfahren (graphisch) 21
16.1.2.2 Methode der Variablentrennung 21
16.2 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG 1. ORDNUNG 21
16.2.1 homogene Dgl mit konstanten Koeffizienten 21
16.2.1.1 Lösung durch charakteristische Gleichung 21
16.2.2 homogene Dgl 21
16.2.2.1 Lösungsverfahren 21
16.2.3 inhomogene Dgl 22
16.2.3.1 Allgemeine Form 22
16.2.3.2 Normalform 22
16.2.3.3 Lösung durch Zusammensetzen 22
16.2.4 finden einer partikulären Lösung (bei konstanten Koeffizitenten) 22
16.2.5 Variation der Konstanten 22
16.2.5.1 homogene Dgl 22
16.2.5.2 inhomogene Dgl 22
16.2.6 Durch Substitution lösbare Dgl 1. Ordnung 22
16.2.6.1 1. Typ 22
16.2.6.2 2. Typ 22
16.3 ORTHOGONALE TRAJEKTORIEN 23
16.3.1 Gegebene Kurvenschar 23
16.3.1.1 Dgl dieser Kurvenschar 23
16.3.2 Gesuchte Kurvenschar 23
16.3.2.1 Dgl 23
16.4 EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 23
16.4.1 Definition 23
16.4.2 Integrierende Faktoren 23
16.4.2.1 Fall 1 23
16.4.2.2 Fall 2 23


17 FOURIER 24
17.1 REELLE FOURIERREIHEN 24
17.1.1 Fourier-Reihen mit Periode 2p 24
17.1.1.1 Koeffizienten 24
17.1.1.2 Trigonometrische Reihe 24
17.1.1.3 Trigonometrische Summe 24
17.1.2 Fourier-Reihen mit Periode T 24
17.1.2.1 Koeffizienten 24
17.1.2.2 Reihe 24
17.1.3 Spezialfälle 25
17.1.3.1 Gerade Funktion Periode 2p 25
17.1.3.2 Gerade Funktion Periode T 25
17.1.3.3 Ungerade Funktion Periode 2p 25
17.1.3.4 Ungerade Funktion Periode T 25
17.1.4 Darstellung von f als reine Sinusreihe 25
17.1.5 Mit TI-89 25
17.2 KOMPLEXE DARSTELLUNG DER FOURIERREIHE 26
17.2.1 Komplexe Fourierreihe 26
17.2.1.1 Periode 2p 26
17.2.1.2 Periode T 26
17.2.2 Komplexe und reelle Koeffizienten 26
17.2.2.1 Komplex aus Reell 26
17.2.2.2 Reell aus Komplex 26
17.2.3 Berechnung des komplexen Koeffizienten 26
17.2.3.1 Periode 2p 26
17.2.3.2 Periode T 26
17.3 FOURIERINTEGRAL KOMPLEX 27
17.3.1 Gleichungspaar mit Kreisfrequenz w 27
17.3.1.1 Spektralfunktion 27
17.3.1.2 Fourierintegral 27
17.3.2 Gleichungspaar mit Frequenz f 27
17.3.2.1 Spektralfunktion 27
17.3.2.2 Fourierintegral 27
17.3.3 Spektralfunktion, Spektraldichte oder Frequenzfunktion 27
17.3.3.1 Spektralfunktion ist komplex 27
17.3.3.2 Exponentialform 27
17.4 FOURIERINTEGRAL IN DER REELLEN FORM 28
17.4.1 Spektralfunktion und Fourierintegral 28
17.4.2 Spezialfälle 28
17.4.2.1 Gerade Funktion 28
17.4.2.2 Ungerade Funktion 28


18 REIHENENTWICKLUNG 29
18.1 AUSGLEICHSPROBLEM 29
18.1.1 Lösungsansätze 29
18.1.1.1 Lineare Funktion (Gerade) 29
18.1.1.2 Quadratische Funktion (Parabel) 29
18.1.1.3 Potenzfunktion 29
18.1.1.4 Exponentialfunktion 29
18.2 INTERPOLATIONSPROBLEM 29
18.2.1 Gegebene Kurve 29
18.2.2 Polynom 29
18.2.3 Interpolationsformel von Lagrange 29
18.2.3.1 Lagrangesche Koeffizientenfunktionen 29
18.3 SCHMIEGUNGSPOLYNOM 30
18.3.1 Potenzreihen 30
18.3.2 Konvergenzradius 30
18.3.2.1 Die Reihe konvergiert 30
18.3.2.2 Die Reihe divergiert 30
18.3.2.3 Unbestimmtes Verhalten 30
18.3.3 Maclaurin-Reihe 30
18.3.4 Taylor-Reihe 30


19 LAPLACE-TRANSFORMATION 31
19.1 LAPLACE-TRANSFORMATION 31
19.1.1 Zeit zu Bild 31
19.1.1.1 Konvergenz 31
19.1.2 Bild zu Zeit 31
19.2 SÄTZE 31
19.2.1 Linearität 31
19.2.2 Ähnlichkeitssatz 31
19.2.3 Verschiebungssatz 31
19.2.3.1 Verschiebung im Zeitbereich 31
19.2.4 Dämpfungssatz = Verschiebung im Bildbereich 31
19.2.5 Differentiation 31
19.2.5.1 Differentiation im Zeitbereich 31
19.2.6 Integration 32
19.2.7 Faltung 32
19.2.8 Diracstoss und Laplace 32
19.3 DERIVIERTE ABLEITUNG 32
19.3.1 Verallgemeinerte Ableitungsregel 32
19.4 WICHTIGE TRANSFORMATIONEN 32
19.5 OHMSCHES GESETZ IM BILDRAUM 33
19.5.1 Widerstand 33
19.5.2 Spule 33
19.5.3 Kondensator 33
19.6 LAPLACE-TRANSFORMIERTE EINER PERIODISCHEN FUNKTION 33
19.7 GRENZWERTSÄTZE 33
19.7.1 Anfangswertsatz 33
19.7.2 Endwertsatz 33
19.8 SÄTZE FÜR BILDFUNKTIONEN 34
19.8.1 Differentiationssatz 34
19.8.2 Integrationssatz 34
19.8.2.1 Grenzfall p -> 0 34
19.9 ÜBERTRAGUNGSVERHALTEN VON NETZWERKEN 34
19.9.1 Übertragungsglied 34
19.9.1.1 Impulsantwort 34
19.9.1.2 Sprungantwort 34
19.9.1.3 Zusammenhang 34
19.9.2 Stabilität 34
19.10 FREQUENZGANG 35
19.10.1 Sinus auf ein Übertragungsglied 35
19.10.1.1 Übertragungsglied 35
19.10.1.2 Eingang 35
19.10.1.3 Ausgang nach langer Zeit 35


20 Z-TRANSFORMATION 36
20.1 DEFINITION 36
20.1.1 Herleitung 36
20.1.1.1 Wertefolge von Zeitfunktion 36
20.1.1.2 LT von Wertefolge 36
20.1.1.3 Substitution 36
20.1.2 Definition 36
20.1.2.1 Wertefolge 36
20.1.2.2 Zeitfunktion 36
20.2 RECHENREGELN 37
20.2.1 Linearität 37
20.2.2 Verschiebungsregel nach rechts 37
20.2.2.1 Falls f(t)=0 für t<0 37
20.2.3 Verschiebungsregel nach links 37
20.2.4 Dämpfungsregel 37
20.2.5 Differenzbildungs- und Summationsregel 37
20.2.5.1 1. Differenzbildungsregel 37
20.2.5.2 2. Differenzbildungsregel 37
20.2.5.3 Summationsregel 37
20.2.6 Differentiationsregel für die Bildfunktion 37
20.2.7 Faltungsregel 38
20.2.7.1 Faltungsregel für Zeitfunktionen 38
20.2.7.2 Faltungsregel für Zahlenfolgen 38
20.2.7.3 Faltungsregel der Z-Transformation 38
20.2.8 Grenzwertsätze 38
20.2.8.1 Anfangswertsatz 38
20.2.8.2 Endwertsatz 38
20.3 WICHTIGE Z-TRANSFORMIERTE 38
20.4 Z-TRANSFORMATION VON LAPLACE-TRANSFORMIERTEN 39
20.4.1 Z-Transformation rationaler Funktionen von s 39
20.4.1.1 1. Fall: F(s) hat nur die einfachen Pole a1, ... an 39
20.4.1.2 2. Fall: F(s) hat einen q-fachen Pol a , q=2,3, ... 39
20.4.2 Z-Transformation rationaler Funktionen von eTs 39
20.4.2.1 Z-Transformierte von einer rationalen Funktion von eTs 39
20.4.3 Lösung von Differenzengleichungen 39
20.4.3.1 Differenzengleichung für Zeitfunktionen 39
20.4.3.2 Differenzengleichung für Zahlenfolgen 39
20.4.4 Z-Transformation des Produktes von R1(eTs) und R2(s) 39
20.5 REGELKREIS 40
20.5.1 offener Regelkreis 40
20.5.1.1 s-Übertragungsgleichung 40
20.5.1.2 z-Übertragungsgleichung 40
20.5.2 geschlossener Regelkreis 40
20.5.2.1 z-Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises 40
20.5.2.2 z-Übertragungsgleichung 40
20.5.3 Rekursive Berechnung der Ausgangswerte xk (ohne Rücktransformation von Xz) 41
20.5.3.1 Sobald Fw bekannt 41
20.5.3.2 Rücktransformation 41
20.5.4 Stabilität 41
20.5.4.1 Regelkreis ist stabil, wenn: 41
20.6 RÜCKTRANSFORMATION 41
20.6.1 Zeitfunktion aus Wertefolge 41
20.6.2 Wichtige Zeittransformierte 41


21 WARSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 42
21.1 WAHRSCHEINLICHKEIT 42
21.1.1 Begriffe 42
21.1.1.1 Unvereinbar 42
21.1.2 Axiome 42
21.1.3 Folgerungen 42
21.1.3.1 Die Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses 42
21.1.3.2 Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses 42
21.1.3.3 Die Wahrscheinlichkeit mehrer unvereinbarer Ereignisse 42
21.1.3.4 Die Wahrscheinlichkeit von A, wenn A Ì B 42
21.1.3.5 Grenzen für die Wahrscheinlichkeit 42
21.1.3.6 Additionssatz für zwei beliebige Ereignisse 42
21.1.3.7 Gleichwahrscheinliche Ereignisse (klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff) 42
21.1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit 43
21.1.4.1 Allgemeine Definition 43
21.1.4.2 Der Multiplikationssatz 43
21.1.4.3 Unabhängig 43
21.1.4.4 Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse 43
21.1.4.5 Formel von Sylvester 43
21.1.5 Geometrische Wahrscheinlichkeit 43
21.2 VERTEILUNGEN 44
21.2.1 Binomische Verteilung (Urnenmodell, Ziehen mit Zurücklegen) 44
21.2.1.1 Newtonsche Formel 44
21.2.2 Hypergeometrische Verteilung (Urnenmodell, Ziehen ohne Zurücklegen) 44
21.2.2.1 Approximation durch die binomische Verteilung 44
21.2.3 Die Poisson Verteilung 44
21.3 ZUFALLSVARIABLE 44
21.3.1 Erwartungswert 44
21.3.2 Varianz 44
21.3.3 Standardabweichung 44
21.3.4 Spezialfälle 44
21.3.4.1 Zufallsvariable binomisch verteilt 44
21.3.4.2 Zufallsvariable Poisson-verteilt 44
21.4 NORMALVERTEILUNG 45
21.4.1 Gausssche Glockenkurve 45
21.4.2 Standardisierung der Zufallsvariablen 45
21.4.3 Die binomisch verteilte Zufallsvariable 45
21.4.4 Der zentrale Grenzwertsatz 45